Matemática Online

Aula particulares de Matemática,Fisica e Quimica

2011-10-08T14:00:00.000-07:00

Aula Particulares de Matemática, Física e Química para provas escolares, concursos,supletivos, etc.
Cidade:Valença-BA
Endereço:Rua Marechal Deodoro n°351
Bairro:Centro
Valor:A combinar.
E-mail:igor_matematico@hotmail.com
Tel:(75)92181777

2011-10-08T10:28:00.001-07:00

Criado no siteOrgulho de ser professor.

Orgulho de ser Professor

2011-10-08T10:12:00.001-07:00

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Criado no siteVocê na capa de NOVA ESCOLA.

Aplicação da derivada no estudo dos movimentos:MRU e MRUV

2011-10-01T15:36:00.000-07:00

Introdução:

Nos cursos de exatas, oferecido nas universidades de todo o brasil e em outros paises, existe a matéria de Calculo Diferencial e Integral.Percebemos que nesta area da matemática encontramos diversas aplicaçoes em areas do conhecimento que dependem da matemática para a execução de calculos;podemos citar como exemplo a Física, Quimica, Economia, etc.

Dentre essas aplicações, abordaremos o papel dos limites e derivadas no estudo dos movimentos retilineo e uniforme(MRU) e retilineo uniformemente variado(MRUV).

Incremento de uma variável:

Denominaremos incremento de uma variável ao acrescimo ou variação em uma variável x.Este incremento pode ser negativo, positivo ou nulo.

Ex:Suponhamos que a temperatura de uma certa região aumentou de 28°C para 31°C.Neste caso, a temperatura sofreu variação de 3°C.

Vimos , então, que o incremento é a diferença entre dois valores.Podemos expressar matematicamente da seguinte maneira:

$\Delta x=x{}_{2}-x{}_{1}$
Incremento de uma função:
Quando uma variável y é função de outra variável x, então qualquer incremento dado a x tem-se também um acréscimo $\Delta y$ correspondente em y e é dado por:
$\Delta y =f(x+\Delta x)-f(x)$
Ex:Dada a função f(x)=x²+2x, se x varia de 3 para 7, a função varia de 15 a 63, pois:
para x=3, então f(3)=3².2*3=9.6=15
para x=7,então f(7)=7²+2*7=49+14=63
Foi dado um acrescimo a x de 4 unidades, pois:
$\Delta x=x{}_{2}-x{}_{1}$ , então $\Delta x$=7-3 então $\Delta x$=4.Logo:
$\Delta y$=f(3+4)-f(3), então $\Delta y$=f(7)-f(3)=63-15=48
Razão entre incrementos:
A razão entre o incremento de uma função y e o incremento de uma variá vel x é dada por:
$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ .A esta razão damos o nome de razão incremental.
Ex:Na função f: R $\rightarrow$ R definida por f(t)=t²+2t, quando x varia de 2 a 2,5, a função varia de 8 a 11,25.
para x=2 $\Rightarrow$ f(2)=2²+2*2 $\Rightarrow$ 4+4=8
para x=2,5 $\Rightarrow$ f(2,5)=(2,5²)+2*2,5=6,25.5=11,25
$\Delta x$ =2,5-2=0,5 e $\Delta y$=f(2+0,5)-f(2)=11,25-8=3,25
Então o valor da razão incremental $\frac{\Delta x} {\Delta y}$ é $ \frac{3,25} {0,5}$=6,5.
Obs:O resultado desta razão é denominada taxa média de variação da função y quando x varia de 2 a 2,5.

O conceito de taxa de variação média exprime a rapidez com que a a função cresce num dado intervalo.Utilizamos a taxa de variação média quando calculamos a velocidade média de um corpo.

Ex: Um automóvel desloca-se de A para B.A tabela a seguir relaciona o espaço pecorrido com o tempo decorrido.

Tempo(s)	0	1	2	3	4	5	6	7
Espaço(m)	0	2	5	9	14	20	27	35

Vamos calcular as taxas de variação média em alguns intervalos:
tvm =$\frac{9-5} {3-2}$ = $\frac{4} {1}$=4m/s        tvm= $\frac{20-14} {5-4}$ =$\frac{6} {1}=6m/s
[2,3]                                                                       [4,5 ]

tvm =$\frac{35-27} {7-6}$ =$\frac{8} {1}$=8m/s
[6,7]
Observa-se, a partir dos calculos feitos que o movimento é cada vez mais rápido e , portanto, acelerado.
Calculemos a tvm entre 2 a 7 segundos.
tvm= $\frac{35-5} {7-2}$=$\frac{30 m} {5s}$=6m/s
[2,7]
Podemos dizer que a velocidade média entre 2 a 7 segundos foi de 6m/s.
Generalizando para qualquer fução f no intervalo $[x{}_{a},x{}_{b}]$ , a taxa de variação média de uma função é:

tvm=$\frac{f(x{}_{b})- f(x{}_{a})} {x{}_{b}-x{}_{b}}$
$[x{}_{a},x{}_{b}] $

A taxa média de variação fornece o valor da velocidade do veiculo em determinado momento;se quisermos saber a velocidade de um corpo em um instante usaremos o conceito de taxa de variação instantanea.E o que veremos mais adiante.

Taxa de variação instantanea de uma função:

Considere a função y=x².Faremos a variavel x sofrer incrementos cada vez menores , fazendo $\Delta x$ "tender a zero". Veremos o que acontece com $\Delta y$ e com a razão incremental.Observe a tabela abaixo:
Iniciaremos com x=4.

$ \Delta x$	x+ $ \Delta x$	y+ $\Delta y$	$ \Delta y$	$ \frac{ \Delta y}{\Delta x}$
3	7	49	33	11
2	6	32	20	10
1	5	25	9	9
0,5	4,5	20,25	4,25	8,5
0,1	4,1	16,81	0,81	8,1
0,01	4,01	16,0801	0,0801	8,01
0	4	16	0	8

Podemos observar na tabela acima que a medida que o valor de $ \Delta x$ aproxima-se de zero, $ \Delta y $ também tende(aproxima-se) de zero, e a razão incremental $\frac{ \Delta y} {\Delta x}$, nesse caso, tende a uma constante que é igual a 8.Este valor é denominado taxa de variação instantanea da função y=x² no ponto x=4.

Derivada:
Quando $ \Delta x $ tende a zero e a razão incremental se aproxima de um valor finito m , dizemos que m é o limite da razão incremental com $\Delta x$ tendendo a zero, e escrevemos:
$ m=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .Lê-se:Limite de $\frac{\Delta y} {\Delta x}$ quando x tende a zero.
Podemos agora definir o conceito de derivada:
A taxa de variação instantanea, ou derivada da função f em $x{}_{0}$ é dada por:
$ m=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , sendo $\Delta y=f(x{}_{0} + \Delta x)-f(x{}_{0})$
O valor desse limite é denotado por $ f '(x{}_{0})$ e dizemos que f é derivável em $ x{}_{0}$ .

Interpretação cinemática da derivada:
Em Fisica, no estudo d a cinemática, sabemos que a posição s de um móvel é função do tempo S=S(t).No instante $t{}_{0}$, o móvel está na posição $S{}_{0}$ e no instante $t{}_{0}+ \Delta t$, com $ \Delta t \neq 0 $ , está na posição $S(t{}_{0}+ \Delta t) $ .
Definiremos velocidade média como a razão do espaço pecorrido pelo tempo decorriso, ou seja:
$V=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{S(t{}_{0}+\Delta t)-S({}_{0})} {\Delta t}$ .Fazendo $\Delta t$ Tender a zero, $\Delta s $ também tende a zero.A velocidade escalar do movel no instante $t{}_{0}$ é o limite da velocidade escalar média para $\Delta t \Rightarrow 0$ .

$V{}_{m}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{S(t{}_{0}+\Delta t)- S(t{}_{0})}{\Delta t}\Rightarrow V(t{}_{0})=S'(t{}_{0})$
A derivada da função S(t) em $t{}_{0}$ é numericamente igual à velocidade escalar do móvel no instante $t{}_{0}$ .
Sabemos que a aceleração escalar média do móvel, no intervalo de tempo $\Delta t$, pode ser definido como o quociente entre $ \frac{\Delta V} {\Delta T}$ , ou seja:
$a{}_{m}=\frac{V(t{}_{0}+\Delta t)-V (t{}_{0})}{\Delta t}$
A aceleração escalar do móvel no instante $t {}_{0}$ é o limite da aceleração escalr média para $ \Delta t $ tendendo a zero .
$a{}_{m}=\lim_{\Delta t\Rightarrow 0}\frac{V(t{}_{0}+\Delta t)-V(t{}_{0})}{\Delta t}\Rightarrow a(t{}_{0})=V'(t{}_{0})$
A derivada da função V=v(t) em $t{}_{0}$ é numericamente igual a aceleração escalar do móvel no instante $t{}_{0}$

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Como estudar Matemática?

2011-08-06T07:37:00.000-07:00

Dicas Gerais:

Faça você mesmo os exercícios, nunca peça a outra pessoa para fazê-los, apenas peça explicações.

Leia os enunciados mais de uma vez para compreender o que é pedido. Nem sempre compreendemos tudo na primeira leitura. Se for possível, destaque os dados mais importantes.

Quando surgir alguma dúvida durante a resolução de exercícios, volte ao enunciado.

Ao resolver problemas, leia observando o que deve ser feito para solucioná-los, anotando os dados.

Confira sempre as anotações.

Procure relacionar as matérias com situações do dia-a-dia.

Confira se está tudo de acordo como enunciado e se há questões sem fazer.

Como estudar Matemática durante as aulas:

Participe das aulas, perguntando quando tiver alguma dúvida sobre a matéria ou sobre as resoluções dos exercícios.

Dê bastante atenção as explicações e correções, mesmo quando achar a matéria fácil.
Participe falando sua forma de resolução, sempre que ela for diferente da apresentada por outros colegas.
Corrija todo o dever com muita atenção, não deixe de marcar certo ou errado e faça sempre a correção necessária. Nunca copie do quadro exercícios prontos, sem tê-los entendido primeiro.

Como estudar Matemática em casa:

Faça os deveres com atenção e sempre que tiver dúvida, consulte a matéria.

Estude refazendo os exercícios dados em aula.

Se errar procure descobrir seu erro e repita o exercício até acertá-lo com segurança.

Exercite e aprimore as operações fundamentais, sempre conferindo o resultado.

Reveja diariamente toda a matéria dada, principalmente os exercícios que você teve maior dificuldade.

Fonte:http://www.mundovestibular.com.br

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2011-08-06T05:41:00.000-07:00

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O blog está afiliado a União dos blogs de Matemática.

2011-03-12T09:11:00.000-08:00

O blog Matemática Online está afiliado a União dos blogs de Matemática,um espaço na internet com objetivo de divulgar e agregar todos os blogs de matemática do país, mas estará de portas abertas para os blogs estrangeiros que tratam desta maravilhosa ciência.Caso o visitante tenha um blog de matemática e queira se afiliar, basta acessar o blog http://ubmatematica.blogspot.com/ e colocar o selo(banner) no seu blog.Mais informações,favor acessar o site acima que contém mais esclarecimentos a respeito desta afiliação,inclusive com o estatuto da União dos blogs de Matemática.

Forúm de Matemática e Física

2011-02-25T04:02:00.000-08:00

Foi criado um forúm para discussão de tópicos de matemática e física e com o objetivo de auxiliar os internautas na resolução de questões destas matérias.Conto com a participação de todos neste novo canal de difusão da matemática e física.
Acesse agora:http://matematicaefisica.forumeiros.com/

Permutação-método matemático utilizado na elaboração de placas de veículos.

2010-10-14T06:18:00.000-07:00

Todas as pessoas devem possuir uma certidão de nascimento ou carteira de identidade. O CPF e o título de eleitor também são documentos imprescindíveis para qualquer cidadão. Todos esses documentos possuem o nome da pessoa e um número de identificação que facilita o acesso às informações cadastrais de cada civil.

Os veículos também possuem um cadastro com diversas informações sobre cor, modelo, ano, número de chassi, numeração do motor, potência, proprietário, endereço de localização, entre outras. O acesso a esses dados cadastrais é realizado através da placa de identificação do veículo.

Anteriormente, as placas eram formadas por uma combinação de duas letras e quatro números. Considerando que o alfabeto é composto de 26 letras e nosso sistema de numeração por 10 dígitos, as permutações possíveis eram dadas por:

26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 6.760.000

Em cada coluna das letras temos a opção de 26 letras e, no caso dos números, a opção de 10 dígitos.

Conforme o aumento do número de carros no decorrer dos anos, os departamentos responsáveis pelo registro dos carros em circulação resolveram adotar a presença de mais uma letra nas placas dos automóveis. Essa medida aumentou o número de possibilidades de combinação. Observe:

26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 175.760.000

Os cálculos apresentados fornecem todas as possíveis permutações, inclusive envolvendo identificações de mesmas letras e números. Por exemplo:

AAA – 0000
PPP – 1111
TTT – 8888
XXX – 4444

Caso seja necessário calcular o número de permutações somente de placas com elementos distintos, devemos adotar o seguinte cálculo matemático:

26 * 25 * 24 * 10 * 9 * 8 * 7 = 78.624.000

Exemplos:

ABC – 1234
JDT – 8547
PTA – 1238
TDX – 5621

Algumas outras restrições podem ser utilizadas na elaboração das placas. Veja:

Somente as letras distintas

26 * 25 * 24 * 10 * 10 * 10 * 10 = 156.000.000

Exemplos:

ABC – 2255
PDR – 8888
XTA – 8787
NKS – 9025

Somente os números distintos

26 * 26 * 26 * 10 * 9 * 8 * 7 = 88.583.040

Exemplos

AAP – 1258
BBV – 8742
LKL – 5468
HIJ – 7236

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Contribuição de Isaac Newton para a Matemática-O Binomio de Newton

2010-09-17T10:10:00.003-07:00

Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, esse estudo veio para complementar o estudo de produto notável.
Produto notável diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro monômio mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo monômio mais o quadrado do segundo monômio.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Essa forma só é válida se o binômio for elevado ao quadrado (potência 2), se ele estiver elevado à potência 3, devemos fazer o seguinte:
(a + b)³ é o mesmo que (a + b)² . (a + b), como sabemos que (a + b)² = a² + 2ab + b², basta substituirmos:
(a + b)³ =
(a + b)² . (a + b) =
(a² + 2ab + b²) . (a + b) =
a³ + 3a²b + 3ab² + b²
E se for elevado à quarta, à quinta, à sexta potência, devemos utilizar sempre o binômio elevado à potência anterior para resolver.
O binômio de Newton veio pra facilitar esses cálculos, pois com ele calculamos a enésima potência de um binômio.
O estudo de Binômio de Newton engloba:
- Coeficientes Binomiais e suas propriedades
- Triângulo de Pascal e suas propriedades
- Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton .

O Último Teorema de Fermat

2010-09-17T10:06:00.000-07:00

Por volta de 1637, Pierre de Fermat, um matemático francês amador, estudava problemas e soluções relacionados ao Teorema de Pitágoras. Em um momento de genialidade, ele criou uma equação que, embora fosse semelhante à de Pitágoras, não tinha solução. Ele trocou a potência de 2 para 3, do quadrado para o cubo. Como aparentemente esta nova equação não tinha solução, ele a alterou mais ainda, trocando a potência da equação por números maiores que 3, e igualmente não havia soluções para elas. Assim, Fermat presumiu que não existia um trio de números inteiros que se encaixasse na equação

xⁿ + yⁿ = zⁿ , onde n representa 3, 4, 5, …

Extraodinariamente, Fermat escreveu a seguinte anotação na margem do livro Aritmética, de Diofante, o qual foi seu grande guia durante os seus anos de estudo:

“Eu descobri uma demonstração maravilhosa, mas a margem deste papel é muito estreita para contê-la.”

A partir daquele momento, nascia o problema que iria confundir e frustrar os matemáticos mais brilhantes do mundo por mais de 350 anos. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT, como ficou conhecido, tornou-se o Santo Graal da matemática.

A fama do Último Teorema de Fermat deriva unicamente da tremenda dificuldade em demonstrá-lo. No entanto, os comentários de Fermat na margem do seu livro serviam como um desafio ao mundo. Este problema é imensamente difícil e, no entanto, pode ser enunciado de uma forma que qualquer estudante possa entender. À medida em que os anos foram se passando, mais e mais matemáticos brilhantes se viram derrotados e frustrados por fracassarem em sua prova: o Último Teorema de Fermat ganhava notoriedade.

Leonhard Euler, o maior matemático do século XVIII, conseguiu provar que não havia solução para a equação para n = 3. No entanto, fracassou ao tentar provar os outros casos englobados pelo último teorema. Sophie Germain assumiu a identidade de um homem para poder pesquisar num campo que era fechado às mulheres, e conseguiu avanços significativos no século XIX. Graças ao contato que teve com Carl Gauss, ela pode fazer progressos quanto à abordagem do problema. Outro grande gênio, Évariste Galois, passou a noite escrevendo os resultados de sua pesquisa, antes de morrer num duelo em 1832, aos 20 anos de idade, tendo estudado apenas 5 anos de matemática.

No final do século XIX, um acontecimento inusitado deu nova vida ao problema. Paul Wolfskehl, um industrial alemão, desesperado devido a uma desilusão amorosa, decidiu suicidar-se. Na noite em que planejara cometê-lo, ele começara a ler livros de matemática. Envolveu-se com uma das demonstrações fracassadas do último teorema, e verificou que havia um erro de lógica nela. Passou a noite corrigindo a falha, e quando conseguiu, ficou tão orgulhoso do seu trabalho que decidiu não mais se suicidar. Seu desespero e mágoa desapareceram, a matemática lhe dera uma nova vontade de viver. Em 1908, quando morreu, ele deixou grande parte de sua fortuna como prêmio, a ser entregue ao primeiro que pudesse provar o Último Teorema de Fermat. Nascia o Prêmio Wolfskehl.

Mesmo com este incentivo, o Último Teorema de Fermat parecia não ser capaz de ser demonstrado.

Em 1955, Yutaka Taniyama e Goro Shimura, dois jovens matemáticos talentosos, desenvolveram uma conjectura que, sem perceberem, seria o grande passo para a demonstração definitiva do Último Teorema de Fermat. Mas, mais uma vez, a vida conspirava contra este objetivo. Em 1958, Taniyama cometeu suicídio.

Em 1986, um professor de Princeton, Andrew Wiles, que sonhava em demonstrar o último teorema de Fermat desde que o vira pela primeira vez, ainda menino, na biblioteca de sua cidade, decidiu tornar este sonho realidade. No entanto, fez questão de se preparar para não cometer os mesmos fracassos de seus antecessores, e durante sete anos publicou artigos sobre outros assuntos, de modo a despistar os colegas, enquanto trabalhava em sua obsessão. Durante este período, ele conseguiu fazer grandes descobertas, unificando e criando novas técnicas matemáticas. Em 1993, passados 356 anos desde o desafio de Fermat, Wiles assombrou o mundo ao anunciar a demonstração. Mas, havia uma falha nela. Este erro o fez voltar às pesquisas por mais 14 meses, até que, em 1995, ele ganhou as páginas de jornais do mundo inteiro e 50 mil libras da Fundação Wolfskehl.

O Último Teorema de Fermat finalmente fora demonstrado, mas para isso foi necessário o uso das técnicas matemáticas mais modernas do século XX. Mesmo os grandes matemáticos que fracassaram em sua demonstração forneceram a maior parte dos blocos utilizados na construção da demonstração. Ainda assim, alguns matemáticos insistem que, supondo que Fermat soubesse da solução, haveria uma demonstração mais simples para o último teorema, usando os conhecimentos matemáticos do século XVII. Mas isto é um outro problema…

O Autor

Simon Singh é Ph.D. em física de partículas pela Universidade de Cambridge, na Inglaterra, sendo a busca do quark top a sua principal área de pesquisa. Ele trabalhou durante os últimos sete anos para o departamento de ciência da BBC, e em 1996 co-produziu e dirigiu um premiado documentário sobre o último teorema de Fermat.

A Mulher e a Matemática

2010-09-17T10:04:00.001-07:00

Através dos séculos as mulheres foram desencorajadas a estudar matemática, mas apesar da discriminação houve algumas que lutaram contra os preconceitos gravando seus nomes na história da ciência. A primeira mulher a produzir um impacto nesta disciplina foi Theano, no século VI a.C. Ela começou sua carreira como uma estudante de Pitágoras e acabou se casando com ele. Pitágoras é conhecido como “o filosofo feminista” porque ativamente encorajou mulheres estudantes. Theano foi uma das vinte e oito mulheres irmãs da Irmandade Pitagórica.

Nos séculos seguintes, filósofos como Sócrates e Platão continuaram a convidar mulheres para suas escolas, mas foi somente no século IV de nossa época que uma mulher fundou sua própria escola de matemática, e se tornou muito influente. Hipácia, filha de um professor de matemática da Universidade de Alexandria, ficou famosa por fazer as dissertações mais populares do mundo conhecido e por ser uma grande solucionadora de problemas. Ela era obcecada pela matemática e pelo processo de demonstração lógica. Quando lhe perguntavam por que nunca se casara ela respondia que era casada com a verdade. E finalmente, sua devoção à causa da racionalidade causou sua ruína, quando Cirilo, o patriarca de Alexandria, começou a oprimir os filósofos os cientistas e matemáticos, a quem chamava de hereges, ele tramou contra Hipácia e instigou as massas contra ela:

“Num dia fatal, na estação sagrada de Lent, Hipácia foi arrancada de sua carruagem, teve as roupas rasgadas e foi arrastada nua a igreja. Lá foi desumanamente massacrada pelas mãos de Pedro, o Leitor, e sua horda de fanáticos selvagens. A carne foi esfolada de seus ossos com ostras afiadas e seus membros, ainda palpitantes, foram atirados às chamas.”
Edward Gibbon – Historiador.

Logo depois da morte de Hipácia a matemática entrou num período de estagnação e somente depois da Renascença foi que outra mulher escreveu seu nome nos anais da matemática. Maria Agnesi nasceu em Milão em 1718 e, como Hipácia, era filha de matemático. Ela foi reconhecida como um dos melhores matemáticos da Europa e ficou particularmente famosa por seus tratados sobre tangentes às curvas.

Embora os matemáticos de toda Europa reconhecessem as habilidades de Agnesi, muitas instituições acadêmicas , em especial a Academia Francesa, continuaram a lhe recusar uma vaga como pesquisadora. A discriminação institucionalizada contra as mulheres continuou até o século XX, quando Emmy Noether, descrita por Einstein como “o mais significante gênio matemático criativo já produzido desde que as mulheres começaram a cursar os estudos superiores”, teve negado seu pedido para dar aulas na Universidade de Göttingen.

Assim como Hipácia, Agnesi e a maioria das outras matemáticas, Noether nunca se casou, era filha de matemático.De todos os paises da Europa a França era o mais preconceituoso quanto a mulheres instruídas, declarando que a matemática era inadequada para as mulheres e além da sua capacidade mental.

No começo do século XIX uma jovem francesa Sophie Germain viveu uma era de preconceitos e chauvinismo. Para realizar suas pesquisas ela foi obrigada a assumir uma identidade falsa, estudar sob condições terríveis e trabalhar em isolamento intelectual.

Então, em1794, a Écolle Polytchenique foi inaugurada em Paris uma instituição reservada somente para homens. Ela assumiu a identidade de um ex-aluno, Monsieur Antoine-August Le Blanc, assim conseguiu ter acesso a tudo que era destinado ao ex-aluno e entregava as respostas dos problemas, em dois meses o supervisor do curso, Joseph-Louis Lagrange, não pode mais ficar indiferente ao talento demonstrado nas respostas de Monsier Le Blanc que anteriormente era conhecido por seus péssimos cálculos. Lagrange era um dos melhores matemáticos do século XIX. Lagrange ficou atônito em conhecer a jovem e tornou-se imediatamente seu amigo e mentor.

Ela iniciou uma carreira frutífera na física, uma disciplina em que se destacaria apenas para enfrentar os preconceitos da sociedade. Sua contribuição mais importante foi a “Memória sobre as vibrações de placas elásticas”, um trabalho brilhante que estabeleceu as fundações para a moderna teoria da elasticidade. No fim da sua vida a Universidade de Göttingen lhe concedeu um grau honorário, mas ela faleceu antes de câncer nos seios.

“Quando a Torre Eiffel foi erguida, uma obra onde os engenheiros precisaram dar ma atenção especial a elasticidade dos materiais usados, os nomes dos 72 sábios foram gravados na estrutura. Mas ninguém encontrara nesta lista o nome desta mulher genial, cujas pesquisas contribuíram tanto para a teoria da elasticidade dos metais: Sophie Germain. Teria sido ela excluída da lista pelo mesmo motivo que tornou Agnesi inelegível para a Academia Francesa – porque era mulher? Parece que sim. Se foi este o caso é a vergonha sobre os responsáveis por tamanha ingratidão para com alguém que serviu tão bem a causa da ciência. Alguém cujas realizações lhe garantem um lugar invejável na galeria da fama.”
H.J Mozans, 1913.

Texto retirado do livro:O Último Teorema de Fermat. Simon Singh.

Deste resumo deve ter ficado muitas outras mulheres brilhantes de fora , pois o livro aborda somente as que tiveram alguma importância na solução deste enigma que demorou 300 para ser solucionado o Último Teorema de Fermat. Depois trago mais explicações sobre este enigma.

História da Matemática

2010-08-09T09:47:00.000-07:00

O primeiro objeto conhecido que atesta a habilidade de cálculo é o osso de Ishango (uma fíbula de babuíno com riscos que indicam uma contagem), e data de 20.000 anos atrás.[1] O desenvolvimento da matemática permeou as primeiras civilizações, e tornou possível o desenvolvimento de aplicações concretas: o comércio, o manejo de plantações, a medição de terra, a previsão de eventos astronômicos, e por vezes, a realização de rituais religiosos.

O estudo de estruturas matemáticas começa com a aritmética dos números naturais e segue com a extração de raízes quadradas e cúbicas, a resolução de algumas equações polinomiais de grau 2, a trigonometria e o cálculo das frações, entre outros tópicos.

Tais desenvolvimentos são creditados às civilizações acadiana, babilônica, egípcia, chinesa, ou ainda, àquelas do vale dos hindus. Na civilização grega, a matemática, influenciada pelos trabalhos anteriores, e pelas especulações filosóficas, tornou-se mais abstrata. Dois ramos se distinguiram, a aritmética e a geometria. Além disto, formalizou-se as noções de demonstração e a definição axiomática dos objetos de estudo. Os Elementos de Euclides relatam uma parte dos conhecimentos geométricos na Grécia do século III a.d. Ha porque antigamente Pitoca era um nome Hebraico.

A civilização islâmica permitiu que a herança grega fosse conservada, e propiciou seu confronto com as descobertas chinesas e hindus, notadamente na questão da representação numérica [carece de fontes?]. Os trabalhos matemáticos se desenvolveram consideravelmente tanto na trigonometria (introdução das funções trigonométricas), quanto na aritmética. Desenvolveu-se ainda a análise combinatória, a análise numérica e a álgebra de polinômios.

Na época do Renascentismo, uma parte dos textos árabes foram estudados e traduzidos para o latim. A pesquisa matemática, se concentrou então, na Europa. O cálculo algébrico se desenvolveu rapidamente com os trabalhos dos franceses Viète e René Descartes. Em seguida, Newton e Leibniz descobriram a noção de cálculo infinitesimal e introduziram a noção de fluxor (vocábulo abandonado posteriormente). Ao longo dos séculos XVIII e XIX, a matemática se desenvolveu fortemente com a introdução de novas estruturas abstratas, notadamente os grupos (graças aos trabalhos de Évariste Galois) sobre a resolubilidade de equações polinomiais, e os anéis definidos nos trabalhos de Richard Dedekind.

Áreas e metodologia

As regras que governam as operações aritméticas são as da álgebra elementar e as propriedades mais profundas dos números inteiros são estudadas na teoria dos números. A investigação de métodos para resolver equações leva ao campo da álgebra abstrata, que, entre outras coisas, estuda anéis e corpos – estruturas que generalizam as propriedades possuídas pelos números. O conceito de vetor, importante para a física, é generalizado no espaço vetorial e estudado na álgebra linear, pertencendo aos dois ramos da estrutura e do espaço.

O ensino da geometria.

O estudo do espaço se originou com a geometria, primeiro com a geometria euclidiana e a trigonometria; mais tarde foram generalizadas nas geometrias não-euclidianas, as quais cumprem importante papel na formulação da teoria da relatividade. A teoria de Galois permitiu resolverem-se várias questões sobre construções geométricas com régua e compasso. A geometria diferencial e a geometria algébrica generalizam a geometria em diferentes direções: a geometria diferencial enfatiza o conceito de sistemas de coordenadas, equilíbrio e direção, enquanto na geometria algébrica os objetos geométricos são descritos como conjuntos de solução de equações polinomiais. A teoria dos grupos investiga o conceito de simetria de forma abstrata e fornece uma ligação entre os estudos do espaço e da estrutura. A topologia conecta o estudo do espaço e o estudo das transformações, focando-se no conceito de continuidade.

Entender e descrever as alterações em quantidades mensuráveis é o tema comum das ciências naturais e o cálculo foi desenvolvido como a ferramenta mais útil para fazer isto. A descrição da variação de valor de uma grandeza é obtida por meio do conceito de função. O campo das equações diferenciais fornece métodos para resolver problemas que envolvem relações entre uma grandeza e suas variações. Os números reais são usados para representar as quantidades contínuas e o estudo detalhado das suas propriedades e das propriedades de suas funções consiste na análise real, a qual foi generalizada para análise complexa, abrangendo os números complexos. A análise funcional trata de funções definidas em espaços de dimensões tipicamente infinitas, constituindo a base para a formulação da mecânica quântica, entre muitas outras coisas.

Para esclarecer e investigar os fundamentos da matemática, foram desenvolvidos os campos da teoria dos conjuntos, lógica matemática e teoria dos modelos.

Quando os computadores foram concebidos, várias questões teóricas levaram à elaboração das teorias da computabilidade, complexidade computacional, informação e informação algorítmica, as quais são investigadas na ciência da computação

Uma teoria importante desenvolvida pelo ganhador do Prémio Nobel, John Nash, é a teoria dos jogos, que possui atualmente aplicações nos mais diversos campos, como no estudo de disputas comerciais.

Os computadores também contribuíram para o desenvolvimento da teoria do caos, que trata com o fato que muitos sistemas dinâmicos desobedecem a leis dinámias para obedecerem a leis lineares que, na prática, tornam seu comportamento imprevisível. A teoria do caos tem relações estreitas com a geometria dos fractais, como o conjunto de Mandelbrot e de Mary, descoberto por Lorenz, conhecido pelo Lorenz Attractor.

Um importante campo na matemática aplicada é a estatística, que permite a descrição, análise e previsão de fenômenos aleatórios e é usada em todas as ciências. A análise numérica investiga os métodos para resolver numericamente e de forma eficiente vários problemas usando computadores e levando em conta os erros de arredondamento. A matemática discreta é o nome comum para estes campos da matemática úteis na ciência computacional.

A Importância do logaritmos

2010-08-09T09:40:00.000-07:00

Quando os logaritmos foram inventados, cerca de 400 anos atrás, pelo escocês Jonh Napier, afirmou-se que eles "dobravam" a vida dos astrônomos. Isso porque, naquela época, os astrônomos estavam entre os cientistas mais influentes, e eram, também, os que realizavam o maior número de cálculos. Usando logaritmos, eles notaram que podiam fazer seus cálculos cerca de duas vezes mais rápido!

Com a invenção dos logaritmos, o matemático e banqueiro John Napier propôs, na verdade, uma nova maneira de contar. Essa nova operação - o logaritmo - imediatamente reduziu complicadas contas, que chegavam a levar anos(!), de astrônomos, como Johannes Kepler, Pierre Simon, o Marquês de Laplace, e Tycho Brahe, que viu nos logaritmos um instrumento de trabalho muito importante, por minimizar o tempo gasto na resolução dos cálculos das órbitas dos planetas.

Além de aplicações em Astronomia, localizando as posições dos planetas, essa operação facilitou enormemente os trabalhos em navegação (orientação no mar), em operações bancárias (como empréstimos), em engenharia (construções) e, também, nas ciências que estavam nascendo.

Mas, o que é um logaritmo? Logaritmo é o expoente de um número (base), que indica a potência a que se deve levá-lo para se obter, como resultado, outro dado número. Napier compreendeu que qualquer número pode ser expresso nesses termos. Por exemplo, 100 é 102 e 23 é 101,36173.

Descobriu, além disso, que o logaritmo de a vezes b é igual ao logaritmo de a mais o logaritmo de b - o que transforma complexos problemas de multiplicação em problemas mais simples, de adição. Alguém que esteja multiplicando dois números grandes precisa, apenas, procurar seus logaritmos numa tabela, somá-los e achar o número que corresponde a essa soma, numa tabela inversa, de antilogaritmos.

A sua obra "Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos" causou grande surpresa e entusiasmo, porque se trata de técnicas simplificadoras de resolução de problemas de cálculo numérico, problemas esses relacionados ao desenvolvimento do comércio e do progresso da navegação e astronomia. O sistema logarítmico aplicou-se, inicialmente, à trigonometria, necessária à navegação e às observações astronômicas, mas foi estendido, mais tarde, ao cálculo corrente. A palavra "logaritmo" foi inventada pelo próprio Napier, a partir das palavras gregas "Logos" - razão - e "Aritmos" - número.

A descoberta

A descoberta dos logaritmos aconteceu quando Napier procurava uma relação de correspondência entre as progressões aritméticas e as progressões geométricas, quando teria escrito, em latim, as seguintes correspondências, como mostra o quadro ao lado.

A notação dos logaritmos como a conhecemos hoje é devida ao astrônomo e matemático Kepler que, em suas publicações de 1621, 1622 e 1624, escreveu, respectivamente: Logarithmorum 8 basis 2 aequales 3, Logarithm 8 b2 = 3 e, portanto, Log2 8 = 3.

Ainda usando logaritmos

Hoje temos calculadoras que também nos ajudam a realizar cálculos rapidamente. Mas, elas não resolvem todos os problemas sozinhas: há muitas áreas em que o uso de logaritmos é essencial para resolver problemas matemáticos. Por exemplo, logaritmos são necessários para resolver problemas de potências desconhecidas. E um problema desse tipo não se resolve apenas pressionado botões de sua calculadora.

Média harmonica

2010-08-03T01:13:00.000-07:00

A média harmônica está relacionada ao cálculo matemático das situações envolvendo as grandezas inversamente proporcionais. Como exemplo, temos a relação entre velocidade e tempo. Suponha que, em uma determinada viagem, um carro desenvolva duas velocidades distintas, durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 50 km/h e durante a metade restante sua velocidade foi de 60 km/h. Vamos determinar a velocidade média do veículo durante o percurso.

De acordo com a média harmônica temos a seguinte relação:

A velocidade média do veículo durante todo o percurso será de aproximadamente 54 km/h.

Caso calculássemos a velocidade média utilizando a média aritmética chegaríamos ao resultado de 55 km/h. Esse valor demonstra que a velocidade e o tempo de percurso nos dois trechos seriam iguais. Mas precisamos considerar que no primeiro trecho o automóvel levou um tempo maior para o percurso, pois a velocidade era de 50 km/h e no segundo trecho o tempo decorrido foi menor, devido à velocidade de 60 km/h.

Nesse momento, observamos a relação inversa entre velocidade e tempo e, para que não ocorra erro, é aconselhável nessas condições a utilização da média harmônica.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

DESCONTOS SIMPLES

2010-08-02T03:22:00.001-07:00

Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempre o desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a seguir.

Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título.
V = valor líquido, após o desconto.
D_c = desconto comercial.
d = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.

Teremos:
V = N – D_c

No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo:
D_c = Ndn
Substituindo, vem:
V = N(1 – dn)

Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.

Solução:
V = 10000 . (1 – 0,05 . 3) = 8500
D_c = 10000 – 8500 = 1500
Resp: valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00

Desconto bancário

Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF – imposto sobre operações financeiras.

É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título.

Exemplo:
Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.

Solução:
Desconto comercial: D_c = 100000 . 0,,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: d_a = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 – 32750 = 67250
Logo, V = $67250,00
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.

Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao banco.

Duplicatas

Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.

Obs:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.

Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.

Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.

SOLUÇÃO:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50

Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 – (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.
Resp: V = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.

Exercícios propostos:

1 – Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. , pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.

Resp: desconto = $300,00 e valor descontado = $4700,00

2 – Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.

Resp: 6,06% a.m.

http://www.algosobre.com.br/matematica-f…

Teoria dos Conjuntos

2010-08-02T03:13:00.000-07:00

A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), Adolf Fraenkel (alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978), Janos von Newman (húngaro - 1903 /1957), entre outros.

O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido em alguns vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise combinatória, probabilidades, etc

2 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.

Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.

2.1 - Relação de pertinência:

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A,
onde o símbolo Î significa "pertence a".
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação
y Ï A.

O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por f .
Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.
Assim é que, pode-se escrever como exemplos:
Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.

2.2 - Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que
A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.

Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2^m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado
conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

3 - Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:

3.1 - Conjunto dos números naturais

N = {0,1,2,3,4,5,6,... }

3.2 - Conjunto dos números inteiros

Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Nota: é evidente que N Ì Z.

3.3 - Conjunto dos números racionais

Q = {x | x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }. (o símbolo | lê-se como "tal que").
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3,
7 = 7/1, etc.

Notas:
a) é evidente que N Ì Z Ì Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9

3.4 - Conjunto dos números irracionais

Q' = {x | x é uma dízima não periódica}. (o símbolo | lê-se como "tal que").
Exemplos de números irracionais:
p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001... (dízima não periódica)
Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).

3.5 - Conjunto dos números reais

R = { x | x é racional ou x é irracional }.

Notas:
a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì R
b) Q' Ì R
c) um número real é racional ou irracional; não existe outra hipótese!

5 - Operações com conjuntos

5.1 - União ( È )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}.
Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

Propriedades imediatas:
a) A È A = A
b) A È f = A
c) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A È U = U , onde U é o conjunto universo.

5.2 - Interseção ( Ç )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}.
Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Propriedades imediatas:
a) A Ç A = A
b) A Ç Æ = Æ
c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo.

São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)
P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)
P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção)
P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção)
Observação: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.

5.3 - Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas:
a) A - f = A
b) f - A = f
c) A - A = Æ
d) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

5.3.1 - Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: C_AB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:

a) B Ç B' = f
b) B È B' = U
c) f' = U
d) U' = f

6 - Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)

Fonte de pesquisa:http://www.algosobre.com.br/matematica/conjuntos.html

Artigo de autoria de Paulo Marques math@paulomarques.com.br