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sábado, 8 de outubro de 2011
sábado, 1 de outubro de 2011
Aplicação da derivada no estudo dos movimentos:MRU e MRUV
Introdução:
Incremento de uma função:
Quando uma variável y é função de outra variável x, então qualquer incremento dado a x tem-se também um acréscimo $\Delta y$ correspondente em y e é dado por:
$\Delta y =f(x+\Delta x)-f(x)$
Ex:Dada a função f(x)=x²+2x, se x varia de 3 para 7, a função varia de 15 a 63, pois:
para x=3, então f(3)=3².2*3=9.6=15
para x=7,então f(7)=7²+2*7=49+14=63
Foi dado um acrescimo a x de 4 unidades, pois:
$\Delta x=x{}_{2}-x{}_{1}$ , então $\Delta x$=7-3 então $\Delta x$=4.Logo:
$\Delta y$=f(3+4)-f(3), então $\Delta y$=f(7)-f(3)=63-15=48
Razão entre incrementos:
A razão entre o incremento de uma função y e o incremento de uma variá vel x é dada por:
$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ .A esta razão damos o nome de razão incremental.
Ex:Na função f: R $\rightarrow$ R definida por f(t)=t²+2t, quando x varia de 2 a 2,5, a função varia de 8 a 11,25.
para x=2 $\Rightarrow$ f(2)=2²+2*2 $\Rightarrow$ 4+4=8
para x=2,5 $\Rightarrow$ f(2,5)=(2,5²)+2*2,5=6,25.5=11,25
$\Delta x$ =2,5-2=0,5 e $\Delta y$=f(2+0,5)-f(2)=11,25-8=3,25
Então o valor da razão incremental $\frac{\Delta x} {\Delta y}$ é $ \frac{3,25} {0,5}$=6,5.
Obs:O resultado desta razão é denominada taxa média de variação da função y quando x varia de 2 a 2,5.
Vamos calcular as taxas de variação média em alguns intervalos:
tvm =$\frac{9-5} {3-2}$ = $\frac{4} {1}$=4m/s tvm= $\frac{20-14} {5-4}$ =$\frac{6} {1}=6m/s
[2,3] [4,5 ]
tvm =$\frac{35-27} {7-6}$ =$\frac{8} {1}$=8m/s
[6,7]
Observa-se, a partir dos calculos feitos que o movimento é cada vez mais rápido e , portanto, acelerado.
Calculemos a tvm entre 2 a 7 segundos.
tvm= $\frac{35-5} {7-2}$=$\frac{30 m} {5s}$=6m/s
[2,7]
Podemos dizer que a velocidade média entre 2 a 7 segundos foi de 6m/s.
Generalizando para qualquer fução f no intervalo $[x{}_{a},x{}_{b}]$ , a taxa de variação média de uma função é:
tvm=$\frac{f(x{}_{b})- f(x{}_{a})} {x{}_{b}-x{}_{b}}$
$[x{}_{a},x{}_{b}] $
Taxa de variação instantanea de uma função:
Considere a função y=x².Faremos a variavel x sofrer incrementos cada vez menores , fazendo $\Delta x$ "tender a zero". Veremos o que acontece com $\Delta y$ e com a razão incremental.Observe a tabela abaixo:
Iniciaremos com x=4.
Derivada:
Quando $ \Delta x $ tende a zero e a razão incremental se aproxima de um valor finito m , dizemos que m é o limite da razão incremental com $\Delta x$ tendendo a zero, e escrevemos:
$ m=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .Lê-se:Limite de $\frac{\Delta y} {\Delta x}$ quando x tende a zero.
Podemos agora definir o conceito de derivada:
A taxa de variação instantanea, ou derivada da função f em $x{}_{0}$ é dada por:
$ m=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , sendo $\Delta y=f(x{}_{0} + \Delta x)-f(x{}_{0})$
O valor desse limite é denotado por $ f '(x{}_{0})$ e dizemos que f é derivável em $ x{}_{0}$ .
Interpretação cinemática da derivada:
Em Fisica, no estudo d a cinemática, sabemos que a posição s de um móvel é função do tempo S=S(t).No instante $t{}_{0}$, o móvel está na posição $S{}_{0}$ e no instante $t{}_{0}+ \Delta t$, com $ \Delta t \neq 0 $ , está na posição $S(t{}_{0}+ \Delta t) $ .
Definiremos velocidade média como a razão do espaço pecorrido pelo tempo decorriso, ou seja:
$V=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{S(t{}_{0}+\Delta t)-S({}_{0})} {\Delta t}$ .Fazendo $\Delta t$ Tender a zero, $\Delta s $ também tende a zero.A velocidade escalar do movel no instante $t{}_{0}$ é o limite da velocidade escalar média para $\Delta t \Rightarrow 0$ .
$V{}_{m}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{S(t{}_{0}+\Delta t)- S(t{}_{0})}{\Delta t}\Rightarrow V(t{}_{0})=S'(t{}_{0})$
A derivada da função S(t) em $t{}_{0}$ é numericamente igual à velocidade escalar do móvel no instante $t{}_{0}$ .
Sabemos que a aceleração escalar média do móvel, no intervalo de tempo $\Delta t$, pode ser definido como o quociente entre $ \frac{\Delta V} {\Delta T}$ , ou seja:
$a{}_{m}=\frac{V(t{}_{0}+\Delta t)-V (t{}_{0})}{\Delta t}$
A aceleração escalar do móvel no instante $t {}_{0}$ é o limite da aceleração escalr média para $ \Delta t $ tendendo a zero .
$a{}_{m}=\lim_{\Delta t\Rightarrow 0}\frac{V(t{}_{0}+\Delta t)-V(t{}_{0})}{\Delta t}\Rightarrow a(t{}_{0})=V'(t{}_{0})$
A derivada da função V=v(t) em $t{}_{0}$ é numericamente igual a aceleração escalar do móvel no instante $t{}_{0}$
OBS:Este postagem será melhor visualizada se o blog for acessado no navegador de internet Mozilla Firefox.
Nos cursos de exatas, oferecido nas universidades de todo o brasil e em outros paises, existe a matéria de Calculo Diferencial e Integral.Percebemos que nesta area da matemática encontramos diversas aplicaçoes em areas do conhecimento que dependem da matemática para a execução de calculos;podemos citar como exemplo a Física, Quimica, Economia, etc.
Dentre essas aplicações, abordaremos o papel dos limites e derivadas no estudo dos movimentos retilineo e uniforme(MRU) e retilineo uniformemente variado(MRUV).
Incremento de uma variável: Denominaremos incremento de uma variável ao acrescimo ou variação em uma variável x.Este incremento pode ser negativo, positivo ou nulo.
Ex:Suponhamos que a temperatura de uma certa região aumentou de 28°C para 31°C.Neste caso, a temperatura sofreu variação de 3°C.
Vimos , então, que o incremento é a diferença entre dois valores.Podemos expressar matematicamente da seguinte maneira:
$\Delta x=x{}_{2}-x{}_{1}$Incremento de uma função:
Quando uma variável y é função de outra variável x, então qualquer incremento dado a x tem-se também um acréscimo $\Delta y$ correspondente em y e é dado por:
$\Delta y =f(x+\Delta x)-f(x)$
Ex:Dada a função f(x)=x²+2x, se x varia de 3 para 7, a função varia de 15 a 63, pois:
para x=3, então f(3)=3².2*3=9.6=15
para x=7,então f(7)=7²+2*7=49+14=63
Foi dado um acrescimo a x de 4 unidades, pois:
$\Delta x=x{}_{2}-x{}_{1}$ , então $\Delta x$=7-3 então $\Delta x$=4.Logo:
$\Delta y$=f(3+4)-f(3), então $\Delta y$=f(7)-f(3)=63-15=48
Razão entre incrementos:
A razão entre o incremento de uma função y e o incremento de uma variá vel x é dada por:
$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ .A esta razão damos o nome de razão incremental.
Ex:Na função f: R $\rightarrow$ R definida por f(t)=t²+2t, quando x varia de 2 a 2,5, a função varia de 8 a 11,25.
para x=2 $\Rightarrow$ f(2)=2²+2*2 $\Rightarrow$ 4+4=8
para x=2,5 $\Rightarrow$ f(2,5)=(2,5²)+2*2,5=6,25.5=11,25
$\Delta x$ =2,5-2=0,5 e $\Delta y$=f(2+0,5)-f(2)=11,25-8=3,25
Então o valor da razão incremental $\frac{\Delta x} {\Delta y}$ é $ \frac{3,25} {0,5}$=6,5.
Obs:O resultado desta razão é denominada taxa média de variação da função y quando x varia de 2 a 2,5.
O conceito de taxa de variação média exprime a rapidez com que a a função cresce num dado intervalo.Utilizamos a taxa de variação média quando calculamos a velocidade média de um corpo.
Ex: Um automóvel desloca-se de A para B.A tabela a seguir relaciona o espaço pecorrido com o tempo decorrido.
Tempo(s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Espaço(m) | 0 | 2 | 5 | 9 | 14 | 20 | 27 | 35 |
tvm =$\frac{9-5} {3-2}$ = $\frac{4} {1}$=4m/s tvm= $\frac{20-14} {5-4}$ =$\frac{6} {1}=6m/s
[2,3] [4,5 ]
tvm =$\frac{35-27} {7-6}$ =$\frac{8} {1}$=8m/s
[6,7]
Observa-se, a partir dos calculos feitos que o movimento é cada vez mais rápido e , portanto, acelerado.
Calculemos a tvm entre 2 a 7 segundos.
tvm= $\frac{35-5} {7-2}$=$\frac{30 m} {5s}$=6m/s
[2,7]
Podemos dizer que a velocidade média entre 2 a 7 segundos foi de 6m/s.
Generalizando para qualquer fução f no intervalo $[x{}_{a},x{}_{b}]$ , a taxa de variação média de uma função é:
tvm=$\frac{f(x{}_{b})- f(x{}_{a})} {x{}_{b}-x{}_{b}}$
$[x{}_{a},x{}_{b}] $
A taxa média de variação fornece o valor da velocidade do veiculo em determinado momento;se quisermos saber a velocidade de um corpo em um instante usaremos o conceito de taxa de variação instantanea.E o que veremos mais adiante.
Taxa de variação instantanea de uma função:
Considere a função y=x².Faremos a variavel x sofrer incrementos cada vez menores , fazendo $\Delta x$ "tender a zero". Veremos o que acontece com $\Delta y$ e com a razão incremental.Observe a tabela abaixo:
Iniciaremos com x=4.
$ \Delta x$ | x+ $ \Delta x$ | y+ $\Delta y$ | $ \Delta y$ | $ \frac{ \Delta y}{\Delta x}$ |
3 | 7 | 49 | 33 | 11 |
2 | 6 | 32 | 20 | 10 |
1 | 5 | 25 | 9 | 9 |
0,5 | 4,5 | 20,25 | 4,25 | 8,5 |
0,1 | 4,1 | 16,81 | 0,81 | 8,1 |
0,01 | 4,01 | 16,0801 | 0,0801 | 8,01 |
0 | 4 | 16 | 0 | 8 |
Podemos observar na tabela acima que a medida que o valor de $ \Delta x$ aproxima-se de zero, $ \Delta y $ também tende(aproxima-se) de zero, e a razão incremental $\frac{ \Delta y} {\Delta x}$, nesse caso, tende a uma constante que é igual a 8.Este valor é denominado taxa de variação instantanea da função y=x² no ponto x=4.
Derivada:
Quando $ \Delta x $ tende a zero e a razão incremental se aproxima de um valor finito m , dizemos que m é o limite da razão incremental com $\Delta x$ tendendo a zero, e escrevemos:
$ m=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .Lê-se:Limite de $\frac{\Delta y} {\Delta x}$ quando x tende a zero.
Podemos agora definir o conceito de derivada:
A taxa de variação instantanea, ou derivada da função f em $x{}_{0}$ é dada por:
$ m=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ , sendo $\Delta y=f(x{}_{0} + \Delta x)-f(x{}_{0})$
O valor desse limite é denotado por $ f '(x{}_{0})$ e dizemos que f é derivável em $ x{}_{0}$ .
Interpretação cinemática da derivada:
Em Fisica, no estudo d a cinemática, sabemos que a posição s de um móvel é função do tempo S=S(t).No instante $t{}_{0}$, o móvel está na posição $S{}_{0}$ e no instante $t{}_{0}+ \Delta t$, com $ \Delta t \neq 0 $ , está na posição $S(t{}_{0}+ \Delta t) $ .
Definiremos velocidade média como a razão do espaço pecorrido pelo tempo decorriso, ou seja:
$V=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{S(t{}_{0}+\Delta t)-S({}_{0})} {\Delta t}$ .Fazendo $\Delta t$ Tender a zero, $\Delta s $ também tende a zero.A velocidade escalar do movel no instante $t{}_{0}$ é o limite da velocidade escalar média para $\Delta t \Rightarrow 0$ .
$V{}_{m}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{S(t{}_{0}+\Delta t)- S(t{}_{0})}{\Delta t}\Rightarrow V(t{}_{0})=S'(t{}_{0})$
A derivada da função S(t) em $t{}_{0}$ é numericamente igual à velocidade escalar do móvel no instante $t{}_{0}$ .
Sabemos que a aceleração escalar média do móvel, no intervalo de tempo $\Delta t$, pode ser definido como o quociente entre $ \frac{\Delta V} {\Delta T}$ , ou seja:
$a{}_{m}=\frac{V(t{}_{0}+\Delta t)-V (t{}_{0})}{\Delta t}$
A aceleração escalar do móvel no instante $t {}_{0}$ é o limite da aceleração escalr média para $ \Delta t $ tendendo a zero .
$a{}_{m}=\lim_{\Delta t\Rightarrow 0}\frac{V(t{}_{0}+\Delta t)-V(t{}_{0})}{\Delta t}\Rightarrow a(t{}_{0})=V'(t{}_{0})$
A derivada da função V=v(t) em $t{}_{0}$ é numericamente igual a aceleração escalar do móvel no instante $t{}_{0}$
OBS:Este postagem será melhor visualizada se o blog for acessado no navegador de internet Mozilla Firefox.
sábado, 6 de agosto de 2011
Como estudar Matemática?
Dicas Gerais:
Como estudar Matemática durante as aulas:
Como estudar Matemática em casa:
sábado, 12 de março de 2011
O blog está afiliado a União dos blogs de Matemática.
O blog Matemática Online está afiliado a União dos blogs de Matemática,um espaço na internet com objetivo de divulgar e agregar todos os blogs de matemática do país, mas estará de portas abertas para os blogs estrangeiros que tratam desta maravilhosa ciência.Caso o visitante tenha um blog de matemática e queira se afiliar, basta acessar o blog http://ubmatematica.blogspot.com/ e colocar o selo(banner) no seu blog.Mais informações,favor acessar o site acima que contém mais esclarecimentos a respeito desta afiliação,inclusive com o estatuto da União dos blogs de Matemática.
sexta-feira, 25 de fevereiro de 2011
Forúm de Matemática e Física
Foi criado um forúm para discussão de tópicos de matemática e física e com o objetivo de auxiliar os internautas na resolução de questões destas matérias.Conto com a participação de todos neste novo canal de difusão da matemática e física.
Acesse agora:http://matematicaefisica.forumeiros.com/
Acesse agora:http://matematicaefisica.forumeiros.com/
quinta-feira, 14 de outubro de 2010
Permutação-método matemático utilizado na elaboração de placas de veículos.
Todas as pessoas devem possuir uma certidão de nascimento ou carteira de identidade. O CPF e o título de eleitor também são documentos imprescindíveis para qualquer cidadão. Todos esses documentos possuem o nome da pessoa e um número de identificação que facilita o acesso às informações cadastrais de cada civil.
Os veículos também possuem um cadastro com diversas informações sobre cor, modelo, ano, número de chassi, numeração do motor, potência, proprietário, endereço de localização, entre outras. O acesso a esses dados cadastrais é realizado através da placa de identificação do veículo.
Anteriormente, as placas eram formadas por uma combinação de duas letras e quatro números. Considerando que o alfabeto é composto de 26 letras e nosso sistema de numeração por 10 dígitos, as permutações possíveis eram dadas por:
26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 6.760.000
Em cada coluna das letras temos a opção de 26 letras e, no caso dos números, a opção de 10 dígitos.
Conforme o aumento do número de carros no decorrer dos anos, os departamentos responsáveis pelo registro dos carros em circulação resolveram adotar a presença de mais uma letra nas placas dos automóveis. Essa medida aumentou o número de possibilidades de combinação. Observe:
26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 175.760.000
Os cálculos apresentados fornecem todas as possíveis permutações, inclusive envolvendo identificações de mesmas letras e números. Por exemplo:
AAA – 0000
PPP – 1111
TTT – 8888
XXX – 4444
PPP – 1111
TTT – 8888
XXX – 4444
Caso seja necessário calcular o número de permutações somente de placas com elementos distintos, devemos adotar o seguinte cálculo matemático:
26 * 25 * 24 * 10 * 9 * 8 * 7 = 78.624.000
Exemplos:
ABC – 1234
JDT – 8547
PTA – 1238
TDX – 5621
JDT – 8547
PTA – 1238
TDX – 5621
Algumas outras restrições podem ser utilizadas na elaboração das placas. Veja:
Somente as letras distintas
26 * 25 * 24 * 10 * 10 * 10 * 10 = 156.000.000
Exemplos:
ABC – 2255
PDR – 8888
XTA – 8787
NKS – 9025
PDR – 8888
XTA – 8787
NKS – 9025
Somente os números distintos
26 * 26 * 26 * 10 * 9 * 8 * 7 = 88.583.040
Exemplos
AAP – 1258
BBV – 8742
LKL – 5468
HIJ – 7236
BBV – 8742
LKL – 5468
HIJ – 7236
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
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